在统计学中，皮尔逊相关係数（Pearson correlation coefficient），通常用 R 或 ρ 表示，是用来度量两个变数 X 和 Y 之间的相互关係（线性相关）的，取值範围在 [-1,+1] 之间。它在学术研究中被广泛套用来度量两个变数线性相关性的强弱。它是由 Karl Pearson 在19世纪80年代从 Francis Galton 介绍的想法基础发展起来的，但是发展后与原想法相似但略有不同，这种相关係数常被称为“Pearson 的 R” （Pearson's R）。

对于随机变数X和Y，皮尔森相关係数的就是：(x和y的协方差) / (x的标準差∗y的标準差)，用于判断两组数的线性关係程度。

求解公式为： ，其中Cov(X,Y) 代表X与Y的协方差，Var(X) 和Var(Y) 代表X和Y的方差。当相关性为 1 时，X与Y的关係可以表示为Y=aX+b，其中a>0；当相关性为 -1 时，X与Y的关係可以表示为Y=aX+b，其中a<0。如果X与Y相互独立，那幺相关性为0。

对皮尔逊相关係数的理解有两个角度：

其一，按照高中数学水平来理解, 它很简单, 可以看做将两组数据首先做Z分数处理之后, 然后两组数据的乘积和除以样本数

Z分数一般代表在常态分配中, 数据偏离中心点的距离，即等于变数减掉平均数再除以标準差（就是高考的标準分类似的处理）。

标準差则等于变数减掉平均数的平方和，再除以样本数，最后再开方。

其二，按照大学的线性数学水平来理解, 它比较複杂一点，可以看做是两组数据的向量夹角的余弦。

皮尔逊相关的约束条件

从以上解释, 也可以理解皮尔逊相关的约束条件:

1、两个变数间有线性关係

2、变数是连续变数

3、变数均符合常态分配,且二元分布也符合常态分配

4、两变数独立

在实践统计中，一般只输出两个係数，一个是相关係数，也就是计算出来的相关係数大小，在 [-1, 1] 之间；另一个是独立样本检验係数，用来检验样本一致性。

先举个手算的例子：假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8（单位10亿美元），又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。

这个例子中，应计算出相关係数为1出来。我们看看如何一步一步计算出来的。

x 的平均值是 3.8，y 的平均值是 0.138。所以分子是：sum((x-mean(x))*(y-mean(y)))=0.308

用中学数学来写就是:

(1-3.8)*(0.11-0.138)=0.0784
(2-3.8)*(0.12-0.138)=0.0324
(3-3.8)*(0.13-0.138)=0.0064
(5-3.8)*(0.15-0.138)=0.0144
(8-3.8)*(0.18-0.138)=0.1764

0.0784+0.0324+0.0064+0.0144+0.1764=0.308

同理, 分号下面的,分别是:

sum((x-mean(x))^2)=30.8
sum((y-mean(y))^2)= 0.00308

用中学数学来写,分别是:

(1-3.8)^2=7.84 #平方
(2-3.8)^2=3.24 #平方
(3-3.8)^2=0.64 #平方
(5-3.8)^2=1.44 #平方
(8-3.8)^2=17.64 #平方

7.84+3.24+0.64+1.44+17.64=30.8

同理,求得:

sum((y-mean(y))^2)= 0.00308

然后再开平方根,分别是:

30.8^0.5=5.549775
0.00308^0.5=0.05549775

用分子除以分母,就计算出最终结果:

0.308/(5.549775*0.05549775)=1

假设有100人, 一组数据是年龄，平均年龄是35岁，标準差是5岁；另一组数据是发帖数量，平均帖子数量是45份，标準差是8份。

假设这两组都是常态分配。我们来求这两者的皮尔逊相关係数。R脚本如下:

> x<-rnorm(n=100,mean=35,sd=5) #创建一组平均数为35，标準差为5，样本数为100的随机数

> y<-rnorm(n=100,mean=45,sd=8) #创建一组平均数为45，标準差为8，样本数为100的随机数

> cor.test(x,y,method="pearson") #计算这两组数的相关，并进行T检验

然后 R 输出结果为:

Pearson's product-moment correlation

data: x and y

t = -0.0269,df = 98,p-value = 0.9786

alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0

95 percent confidence interval: -0.1990316 0.1938019

sample estimates: cor

-0.002719791

当然，由于这里是两组自动生成的随机数，所以相关度约等于 0 。读者也可以用非随机的数据验证一下计算。