圆周角定理

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。这一定理叫做圆周角定理。该定理反映的是圆周角与圆心角的关系

• 中文名称 圆周角定理
• 外文名称 The circumferential angle theorem
• 适用领域 欧氏几何
• 应用学科 数学

定理内容

　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。

定来自理证明

　　已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证:∠BOC=2∠BAC.

　　证明:

　传哥花　情况1:

　　如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B要百往好了构逐继在同一直线上时:

　　∵OA、OC是半径

图1

　　∴OA=OC

　　∴∠B360百科AC=∠ACO(等边对等角)

　　∵∠BOC是△AOC的外角

　　∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

　　情况2:

　　如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时:

　　连接AO，并延长AO交⊙O于D

图2

　　∵OA、OB、OC是半径

　　∴OA=OB=OC

　　∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO(等边采木对等角)

　　∵∠BOD、自名远呼史亲入杆业∠COD分别是△AOB、△AOC的外角

　　∴∠BOD=∠BAD+∠A约害广BO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

　　∠COD=∠CAD+∠ACO=2热背行特化为或德失增∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和)

　　∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

　　情况3:

　　如图3，当圆心O在∠BAC的外部时:连接A未刑再分然察乐孩第司O，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB

图3

　　∵OA、OB、OC、是半径

　　∴OA=OB=OC

　　∴∠BAD=∠ABO(等腰三角茶方氧商威都曾批形底角相等),∠CAD子=∠ACO(OA=OC)

　　∵∠DOB、∠DOC校分别是△AOB、△AOC的外角

　　∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2轮待利注不∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角入采印销限胜的和)

　　∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内飞春角的和)

　　∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠广而支之苏农末BAC

　　圆心角等于180度的情况呢?

　　看情况1的图，圆心角∠AOB=180度，圆周角是∠ACB，

　　显然因为∠OCA=∠OAC=∠BOC/2

　　∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

　　所以∠OCA+∠O演所害线针CB=(∠BOC+∠AOC)/2=90度

　　所以2∠ACB=∠AOB

　　圆心角大于180度的情况呢?

　　看情况3的图，圆心角是(冲守层360度-∠AOB)，圆周角是∠ACB，

　　只要延长AO交园于点D，由圆心角等于180度的情况可知∠ACD=∠ABD=90度

　　根据情况3同理可证:∠乐核操看县BOC=2∠BAC=2∠BDC

　　根据情况1和情况3同理可证:∠AOC=2∠ADC=2∠ABC

　　所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度

　　即∠ACB=180度-∠ADB

　　由情况2可知:∠AOB=2∠ADB

　　所以识江搞列设确360度-∠AOB=2(180度-∠ADB)=2∠ACB

定理推论

　　1.在同圆或等圆来自中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

　　2.半圆(直径)所对的圆周角是直角;90°360百科的圆周角所对的弦是直径。

　　3.圆的内接四边形的对角太宜倍钱快互补，并且任何一个外角都等于它的内对角案没确走换刻众儿地种源。