点积

在数学中，数量积(dot product; scalar product，也称为点积、点乘)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a = [a1, a2,…, 封令an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:

a·b=a1b来自1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把(纵列)感甚艺无存欢似向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:

a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。

• 中文名 点积
• 外文名 dot product; scalar product
• 别名 标量积、点积、点乘
• 运算类型 二元运算
• 点积的三个值 u、v、u,v夹角的余弦

点积的值

　　u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度;如果为零，那么u,v垂直;如果为正，那么u,v形成的角为锐角。

点积

　　两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。

　　向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算来自中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。

　　运算律

　　1.交换律:送燃息井关广责列你块α·β=β·α 2.分配律:(α+β)·γ=α·γ+β·γ 3.若λ为数:(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ) 若λ、μ为数::(λα)·(μβ)=λμ(α·β) 4.α·α=|α|² ，此外:α·α=0〈=360百科〉α=0。 向量的数量积不简夫封古满足消去律，即一般情况下:α·β=α·γ，α≠0 ≠〉β=γ。 向量的数量积不满足结合律，即一般(α·β)·γ ≠〉α·(β·γ) 相互垂直的两向量数量积为0

坐标表示

　　已知图款细之怎巴士保临两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则有a·b=x1x2+冷析审基分置知必心九历y1y2，即两个向量的数争善达量积等于它们对应坐标的乘积的和。

应用

　　平面向量来自的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明:

　　(1)勾股定理: Rt△ABC中，∠C=90°，则|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2。

　文烈刑些　∵AB = CB-CA

　　∴AB·AB =(CB-CA)·(CB-CA)= CB·CB-2CA·CB+CA·CA

　　又∵ ∠C360百科=90°，有CA⊥CB，于是CA·CB=0

　　∴ AB·AB=AC·AC+CB·CB

　　(2)菱形束触标对角线相互垂直: 菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD。

　　设 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

　　∵AC=(AB+BC)cosα，BD=(BC+CD)cos(π-宽诗工冲何官钱明α)

　　∴AC·BD=(AB+BC)cosα·(BC+CD)cos(π-α)=a^2(cosα+cos(π-α)+1-1 )

　　又∵ cosα=-cos(π-α)

　　∴AC·BD=(AB+BC)cosα·(BC+CD)cos(π-α)=a^2棉曾全往领威名取够济岩(cosα+cos(π-α)+1-1 )=0

　　∴AC⊥BD

　　在含后切京会生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给销小司动断旧措济波出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近;如果小于0，则方向相反。胡矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。

　　线性变换中点积的意义:

　　根据点积的代数公式:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特征向量，则a·b其实为一种线性组合，函数F(a·b)则可以构建一个基于a·b+c = 0 (c为偏移)的第调损某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将呢超过一定阈值的值细律钢财毛对应到第一类，其它的值对处品飞仍般土势态笑应到第二类。