对任一数列{x_n}，如果从某一项x_k开始，满足

则称数列（从第k项开始）是单调递增的。特别地，如果上式全部取小于号，则称数列是严格单调递增的。

同样地，如果从某一项k开始，满足

则称数列（从第k项开始）是单调递减的。特别地，如果上式全部取大于号，则称数列是严格单调递减的。

单调递增数列和单调递减数列统称单调数列。

对任一数列{x_n}，如果存在某个实数A使不等式

恆成立，则称实数A是数列的一个下界；同样地，如果存在某个实数B使不等式

恆成立，则称实数B是数列的一个上界。

如果一个数列既有上界又有下界，则称这个数列是有界的。此时，存在一个正数M，使不等式

成立。

根据数列有界的定义可知，如果一个数列有界，那幺它一定有上界和下界。反过来，如果一个数列只有上界或只有下界，则不能得出数列有界的结论。

单调有界数列必有极限。

这个性质是实数连续性的一个体现，可以用实数连续性公理对其进行证明。

设数列{x_n}单调递增且有上界，接下来用戴德金定理证明{x_n}必有极限。

分类讨论，如果{x_n}从第N项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那幺由于数列是单调递增的，当n>N时，有x_n=x_N，因此对 。即{x_n}收敛到x_N。

如果{x_n}中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那幺因为{x_n}有上界，可取所有{x_n}的上界组成一个数集B，并取A=R/B。则：

①由取法可知数集B非空，而{x_n}为严格单调递增数列，故 。∴ 。

② 。

③∵A中任何元素都不是{x_n}的上界，∴ 。

又∵B中任何元素都是{x_n}的上界，∴ 。

故必有 。

∴由戴德金定理可知，存在唯一实数η，使得η要幺是A中的最大值，要幺是B中的最小值。

但无论是哪种情况， 。

④由数集A的意义可知， 。而数列单调递增，故当 时， 。

⑤由数集B的意义可知，当 时， 。

综合④⑤可知，当 时，

∴ ，即{x_n}有极限。

同理可证：若数列{x_n}单调递减且有下界，则{x_n}必有极限。

在一般的教科书中，单调有界定理是通过确界原理来证明的，即通过确界原理知道{x_n}有上（下）确界α，再证明{x_n}收敛于α。事实上，单调有界定理与确界原理等价，既可以由确界原理得到单调有界定理，也可以由单调有界定理得到确界原理。以下是其证法。

问题：试通过单调有界定理证明确界原理。

解：不妨设数集S非空有上界，将所有不小于S中的任一元素的有理数排成一个数列{r_n}，并令{x_n}=min{r₁,r₂,r₃...r_n}。为更直观理解{x_n}，举例如下：

设S=[1,2]。第一次，取r₁=3，则x₁=min{3}=3。第二次，取r₂=5，则x₂=min{3,5}=3。第三次，取r₃=2.5，则x₃=min{3,5,2.5}=2.5。第四次，取r₄=2.2，则x₄=min{3,5,2.5,2.2}=2.2……以此类推。显然{x_n}单调递减并且有下界（S中任何元素都是{x_n}的下界），因此{x_n}收敛。设极限为η，并且由上述构造可知，η≤x_n≤r_n。

利用反证法，

①若η不是S的上界，即存在p∈S，使p>η。取 ，根据极限的几何意义，存在正整数N，使不等式η<x_N<η+ε成立。而 ，从而x_N<p。这与x_N不小于S中的任一元素矛盾。

②任取a>0，若对任意k∈S，都有k≤η-a，根据有理数的稠密性（即任何两个不相等的实数之间必定存在有理数），存在有理数r，使不等式k≤η-a<r<η成立。因为我们把所有不小于S中的任一元素的有理数排成了一个数列{r_n}，r∈{r_n}。这样一来，就得到η≤r，矛盾。

所以，η是S的上确界。

补充：有理数的稠密性

有理数在实数中是稠密的，即任何两个不相等的实数之间总存在有理数。（实际上任何两个不相等的实数之间不仅存在有理数，而且还存在无理数。在这里暂时不对无理数作讨论。）

用数学语言描述为：

若 且 ，则存在 ，满足 。

证明：因 ，由实数的阿基米德公理，存在正整数 ，使 ，或 。令 ，它是一个有理数。再任取有理数 ，则 。由阿基米德公理，存在自然数 ，使 ，即 。显然 是有理数，并且对所有大于 的自然数 ，都有 。取使不等式 成立的最小的自然数 （最小指的是 ），则 为所求有理数。

如果不是这样，即假设，那幺。将该不等式的两边与的两边相加，得

去括弧，整理即得

这与上面矛盾。

这样就证明了存在有理数，使。

（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；

（2）数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。