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琴生不等式
琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函式值和凸函式的积分值间的关係。
琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。
基本介绍
- 中文名：琴生不等式
- 外文名：Jensen Inequality
- 别称：詹森不等式
- 注意：注意前提、等号成立条件
- 发明人：琴生
- 适用学科：高等数学
概述
1.若
是区间
上的凸函式，则对任意的
，有不等式:
有若且唯若
时等号成立。
2.若 是区间 上的凹函式，则对任意的 ，有不等式:
若且唯若 时等号成立。
3.其加权形式为：
若 是区间 上的凸函式，则对任意的 ，且
，
有
若 是区间 上的凹函式，则对任意的 ，且 ，
则有f（a1x1+a2x2+a3x3.....+anxn）≤a1f(x1)+a2f(x2)+a3f(x3).....+anf（xn）
套用
有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，
如今我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式
比如
i).
ii).
iii).
其中前面两个取
就可以了
后面一个取
就可以了。
举一个简单的例子：
在
中为凸函式（国外教材定义；若为凹函式，则国内教材定义），如图所示：
同时，值得注意的是，上凸、下凸、凹、凸的含义是不同的。如图：
涉及机率密度函式的形式
假设Ω是实线的可测子集，f（x）是一个非负函式
在机率语言中，f是机率密度函式。
然后Jensen的不等式变成了关于凸积分的下面的陈述：
如果g是任何实值可测函式且φ在g的範围内是凸的，那幺：
如果g（x）=x，那幺这种不等式的形式可以简化为一个常用的特例：
例如：随机变数的偶数矩
如果g（x）=x，并且X是一个随机变数，那幺g是凸的
所以
特别是，如果有的甚至瞬间2N的X是有限的，X具有有限的均值。这个论证的延伸表明X具有每个阶的有限矩
划分ñ。
替代有限形式
令Ω= {x1，...xn}，并且以μ为Ω上的计数度量，则一般形式简化为关于和的声明：
，
条件是λi≥0和
还有一个无限的离散形式。
统计物理学
当凸函式是指数函式时，Jensen不等式在统计物理学中特别重要，给出：
，
其中期望值是关于随机变数X中的一些机率分布。
这种情况下的证明非常简单（参见Chandler，第5.5节）。理想的不平等直接来自书写
- {\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [e ^ {X} \ rightname = {E ^ {\ operatorname {E} [X]} \ operatorname {E} \ [X]} \右]}
然后套用不等式ë≥1 +X至最终指数。
资讯理论
如果p（X）是用于真正的机率分布X和q（X）是另一种分布，然后施加Jensen不等式随机变数ÿ（X）=q（X）/p（X）和函式φ（ÿ）= -log（y）给出
因此：
一个称为吉布斯不平等的结果。
它表明，当代码是基于真实机率p而不是任何其他分布q分配时，平均讯息长度被最小化。即非负的量被称为相对熵的q从p。
由于-log（X）为严格凸函式X> 0，它遵循：当等号成立p（X）等于q（X）几乎无处不在。
Rao-Blackwell定理
主要文章：Rao-Blackwell定理
如果L是一个凸函式，
一个亚西格玛代数，然后，从Jensen不等式的条件版本中，我们可以得到
所以如果δ（X）是给定一个可观测量向量X的未观测参数θ的估计量;如果T（X）是θ的充分统计量;那幺可以通过计算获得改进的估计量，即具有较小的预期损失L的意义
，相对于θ的期望值δ在所有可能的观察值向量X上都可以与观察到的相同的T（X）值相匹配。
这个结果被称为Rao-Blackwell定理。