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线性运算
线性运算是加法和数量乘法， 在实数领域像只包含加法和数量乘法二元一次方程就属于线性运算，如y=3x+5。如果是矩阵的加法和数乘运算，就称为矩阵的线性运算；如果是向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。对于不同线性运算一般有不同的形式，它们满足交换律、结合律、分配律等。
基本介绍
- 中文名：线性运算
- 外文名：linear operation
- 特点：加法和数量乘法
- 举例：矩阵的线性运算、向量的线性运算
矩阵的线性运算
矩阵的加法和数乘运算，统称为矩阵的线性运算。
矩阵加减法
定义 设
矩阵的加法就是矩阵对应元素相加，当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数，即只有同型矩阵方可相加。
由于矩阵加法归结为它们元素的加法，即数的加法，故不难验证矩阵加法满足：
(1)结合律：
(2)交换律：
明显地，对零矩阵，有
。
定义2 矩阵
显然，有
一0，从而可定义矩阵减法为
我们可以将负矩阵 看做是实数一1和矩阵 相乘所得，从而抽象出一般数和矩阵的数量乘法。
矩阵数量乘积
定义 矩阵
不难验证。数量乘积满足下列运算规律：
(1)
(结合律)；
(2)
；
(3)
。
向量的线性运算
向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。
向量的加减法
设n维向量
，
，规定向量
与
的和为
向量的数乘
容易验证得到：
(1 )
（加法交换律）；
(2)
（加法结合律）；
(3)
；
(4)
；
(5)
（数乘分配律）；
(6)
（数乘分配律）；
(7)
（数乘结合律）；
(8)
。
上述定义与性质是针对行向量而言的，当与为列向量时，有类似结论。