离散相似法

离散相似法是将连续模型处理成与之等效的离散模型的一种方法，具体地说，就是设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统的信息流相似，或者说，它是依据给定的连续系统的数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。

由于连续系统可由传递函式(频域)及状态方程(时域)两种形式描述，相应地，离散相似法也有两种形式：一种是传递函式的离散化处理，得到离散传递函式；另一种是连续的状态方程的离散处理，得到离散化状态方程。

基本介绍

中文名：离散相似法
外文名：discrete similar method
特点：将连续模型处理成等效的离散模型
所属领域：数理科学
种类：Z域离散相似法、时域离散相似法

简介

用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，必须将这个系统看作一个时间离散系统。也就是说，只能计算到各状态量在各计算步距点上的数值，它们是一些时间离散点的数值。数值积分法没有显式地涉及到“离散”这个概念。史密斯从控制和工程的概念出发提出离散相似问题，并导出离散相似法。

离散相似法的基本原理

用周期为

的虚拟採样开关将连续模型的输入、输出分别离散化，要求离散化后的输出

在採样时刻的值等同于原输出在同一时刻的值，以后的每一步计算均在这个模型基础上进行，而原来的连续模型不再参与计算，如图1所示。对比数值积分法虽然也进行了离散化处理，但在离散化过程中每一步都用到连续系统的模型(导函式

)，离散一步计算一步。

显然，如果仅仅对原系统的输入、输出加上採样开关(图1(b))，那幺其输出

与图1(a)中的

是不会等同的。这是因为在图1(b)中，在开关断开期间，原连续系统无输入，而只在开关闭合的瞬时才有输人。为了原连续系统模型的输入端总保持与图1(a)近似的连续输入，在採样开关与原连续模型之间，必须加一个保持器，如图1(c)所示，其近似程度取决于採样周期和保持器的特性。

保持器的类型

保持器是把离散模拟信号

转换成模拟信号

，用来实现採样点之间的插值，即要得到

时，

的值。所以保持器起了外推器的作用，外推公式为

上式称为n阶外推公式，代表的是n阶保持器。

(1) 零阶保持器(常值外推)。对于式(1)，当n=0时，得到零阶保持器的外推公式

零阶保持器的冲激回响函式如图2(a)所示。回响的幅值为1，宽度为T。这个特性表明零阶保持器对採样值既不放大，也不衰减，另外，也说明零阶保持器只能不增不减地保持一个採样周期。

对于图2(a)特性可分解为两个阶跃函式之和，如图2(b)所示。

(2) 一阶保持器(由k-1和k外推)。在式(1)中n=1时，利用

和

时刻的值作直线外推，可得到一阶保持器的外推公式：

(3) 滞后一步的三角形保持器。三角形保持器的计算公式为

因计算中用到

，有时不方便，故用滞后一步的三角形保持器，此时有

传递函式为

由于连续系统的数学模型可以用传递函式来表示，也可以用状态空间模型来表示，因此，与连续系统相似的离散模型可以通过两个途径获得。其一是对传递函式作离散化处理得到Z传递函式，称为Z域离散相似法；其二是基于状态空间方程离散化，得到时域离散相似模型。

Z域离散相似法

Z域离散相似法的系统脉冲传递函式

在图1(c)中，从

到

之间的传递函式为

，即

对式(4)取Z逆变换即可得到关于

的差分方程。

Z域离散相似法的步骤

离散相似法的步骤如下：

(1)画出连续系统的结构图；

(2)在适当的地方引入虚拟採样开关，选择合适的信号保持器；

(3)将所引进的信号保持器传递函式与连续系统传递函式串联，通过Z变换求得系统的Z传递函式；

(4)通过Z逆变换得系统的差分方程，即离散模型；

(5)根据差分方程编制仿真程式。

离散相似法的精度与稳定性

离散相似模型只能等效于原来的连续系统，其精度与稳定性受採样周期和信号保持器性能的影响。

1)採样周期的影响

为使G(s)与G(z)等价，採样周期T应满足採样定理(香农定理)，即

式中：

为输入信号的最高频率；

为採样频率。

可以证明，若採样周期T满足採样定理，且保持器为理想保持器，则输入信号经保持器后可无失真地恢复原信号，加到原连续系统的输人端；否则(即不满足採样定理或不是理想的保持器)，原连续系统输入信号失真，计算结果必然产生误差，且採样周期越大，误差越大。

2)保持器的影响

(1)零阶保持器。能将阶跃输入的採样值完全恢复为阶跃信号，不产生计算方法上的误差。但随着输入信号频率的增加，零阶保持器的相位滞后增加，幅频特性衰减，保持器的输出将失真。如果系统环节较多，离散时又採用零阶保持器，那幺零阶保持器的相位滞后的累积就会使整个系统离散化模型的稳定性变差，甚至导致不稳定。对其他输入信号，有误差，故需减小採样周期。

(2)一阶保持器。能复现等速输入信号和阶跃信号，对其他信号会失真，相位滞后，幅值衰减。

(3)滞后一步的三角形保持器。能复现阶跃信号。

因此，添加信号保持器的离散环节不宜过多，否则相位滞后，误差增大，稳定性变差，甚至不稳定。因此，在离散化时，凡能合併为一个环节的就合併为一个环节，这样可以改善算法的稳定性和精度。