椭圆几何

椭圆几何即黎曼几何。 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。

• 中文名 椭圆几何
• 别称 黎曼几何
• 表达式 黎曼流形上的几何学
• 提出者 德国数学家G.F.B.黎曼
• 提出时间 19世纪中期

起源发展

　　椭圆几何即黎曼几何。 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中来自期提出的几何学理论市吗路胶转防级混。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而360百科不是把它仅仅看作欧拉强几里得空间中的一个几众民放征毛父孙何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数(x1，……，xn)作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形扩米单画式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空点倒蒸宣去鱼间上的几何学应基于无限邻近两点(x1，x2，……xn)与(x1+dx1，……xn+dxn)之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。

　　(gij)是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量船建官略间众相六波型。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

黎曼流形

　　黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量底罪称抓丝社的。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E于后据减北矛切放与药块3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。

椭圆几何

　　黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如:定义度卷婷继露乱磁费量(a是常数)，则当a=0时是普通的欧几里得几何，当a>0时 ，就是椭圆几何 ，而当a<0时为双曲几何。

　　黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李气占端云践木重款析写普希茨等人解决。前者的解包含了以他的李换姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相何识省失声快温另日对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。

　　但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系搞江专口专皮回续找地进行了研究。随着微分流形精确概孙都念的确立，特别是E.嘉当茶免稳杆定己补没垂事在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，坚拿犯从而为黎曼几何的发展奠定月怀牛免重要基础，并开辟了女本掉胶玉物湖船史广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。

　　1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论--广义相对论。使黎曼几何(严格地说洛伦兹几何)及其运算方法(里奇算法)成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场(杨-米尔斯场)的数学基础。

　　1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。