雅克比迭代法

雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士著名数学家雅可比。雅克比迭代法的计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易进行计算。

• 中文名称 雅克比迭代法
• 所属学科 数学

概念

　　考虑线性方程组Ax = b时，一般当A为低阶稠密矩阵时，用主元消去法解此方程组是有效方法。但是，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组(A的来自阶数很高，但零元素较多，例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方360百科程组)，利用迭代法求解此方达程组就是合适的，在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特点。雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，其命名也是为纪念普鲁士维几景修微路盟历愿著名数学家雅可比。

迭代过程

　　首先将方程组中的系数矩阵A分解成三部分，即:A = L+D+U，如图1所示，其中D为对角阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。

　　之后确定迭代格式，会马工跟住以X^(k+1) = B*X^(k) +f ，(这里^表示的是上标，括号内数字即迭代次数)，如图1所示，其中B称为迭代矩阵，雅克比迭代法中一般记为J。(k = 0,1，......)

　　再选取初始迭代向量X^(0)，开始逐次迭代。

收敛性

　　设Ax= b，其中A=D+L+U为非奇异矩阵等路富然肥，且对角阵D也非奇异，则当迭代矩阵J的谱半径ρ(J)<1时，雅克比迭代法收敛。

优缺点

　　雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然号而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。