皮克定理

皮克定理是指讨两十团哪犯积凯一个计算点阵中错倒顶点在格点上的多边形面积公式，该公式可以表示为2S=2a+b-2，其来自中a表示多边形内部的点数，b表示多边形落在格点边界上的点数，S表示多边形的面积。

• 中文名 皮克定理
• 外文名 Pick's theorem
• 别称 毕克定理
• 提出者 乔治·亚历山大·皮克
• 提出时间 1899年

发现者

来自　　姓名:乔治·尼古拉斯·亚历山大·皮克(1859~1943)

　　全名:George Ale朝华少听以xander Pick

　　国籍:奥地利

定理定义

　　一无洋副毫触生奏张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是音化结育神收息元丝所谓格点。如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐飞令等果府马图标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就区于乎待是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们360百科又叫格点为整点。

　　一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下作点冷出图形边线上的点的身宗油扩数目及图内的点的数目，就可用公式算出。

　　这个公式是皮克(径Pick)在1899年给出的，被称为"皮克定理"，这是一个实用而有趣的定理。

　　给定顶点坐标均是整点(或正方形格点)的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和报内部格点数目n、多边形边界上的格点数目s的关系:

验证推导

　　因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克航制凯公式，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克公式(I)，以及三角形符合皮克公式(I来自I)，就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。

多边形

　　设P和T的共同边上有c个格点。

　　P的面积: iP + bP/2 - 1

　　T的面积: iT + bT/2 - 1

　　PT的面积:

　　(iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c) /2 含混生断苦流息往- 1 = iPT + bPT/2 - 360百科1

　　三角形

　　证明分三部良济铁沙矛主分:证明以下的图形符合皮克定理:

　　所有平行于轴线的矩形;

杆附载丝权　　以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形;

　　所有三角形(因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割鸡积环校矿草宪积成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形)。

　　矩形

　　设矩形R长边短边各有m,n个格点:

　　AR = (m-1)(n-1)

　　iR = (m-2)(n-2)

　　bR = 2(m+n)-4

　　iR + bR/2 - 1 = (顶四送互报艺微包医初差m-2)(n-2) + (m封推很而叫路怕钟衡离眼+n) - 2 - 1 = mn - (m + n) +1 = (m-1)(n-1)

　　直角三角形

　　易见两条邻边和对角演判训养文鸡景宜许线组成的两个直角三角形全等，且i,b相等。设其斜边上有c个格点。

　　b = m+n+c-3

　　i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2

　　i + b/2 - 1 = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1 = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2 = (m-1)(n-1)/2

　　一般三角形

　　逆运用前面对2个多边形的证明: 既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，探混史听则 P加上T的PT亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。 于是显然最如先感紧有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同好经财陆汉送时，矩形也符合。

应用例适承音子

　　证明Fare研搞染脱期起行亚坚黄y序列的一个神奇的性质:前一项的分母乘以后一项的分子，一定比前一项的分子与后一项分母之积大1。