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角平分线定理1是描述角平分线上的点到角两边距离定量关来自系的定理，也360百科可看作是角平分线的性质。
角平分线定理2是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公危式还可以推导出三女宽角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
- 中文名 角平分线定理
- 外文名 The theorem of angle bisector
- 应用学科 数学
- 适用领域范围 三角形全等证明
定理定义
从一个角的顶点雷免操与引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角(内角)的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一来自条角平分线。
定理1
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
证明:如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线
定理1证明图 ∴∠BAD=∠CAD
∵DB⊥AB，DC⊥AC
∴∠ABD=∠ACD=90°
又 AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴CD=BD
故原命题得证。
该命题有逆定理:
逆定理:在角的内部到一个角的两边距离相等的点360百科在这个角的角平分线上。
证明:如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC
∵DB⊥AB，
∴∠DBA=90
同理∴∠DCA=90
在RT△DBA尼植肉太和RT△DCA中，
{DB=DC(已知)
AD=AD(公共边)
∴RT△DBA础属密布结料刻≌RT△DCA(植蛋止检均往让通HL)
∴∠BAD=∠CAD(全等三角形对应角相等)
举达放统照难定理2
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
证明:如图2，在△AB孙卫保样盟迫亚指础C中，AD是∠BAC的平分促侵高线
过点D作DE⊥AB，DF⊥AC
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC
定理2证明图 ∴DE=DF(定理1)
∵2S△ABD=AB×DE,2S△ACD=AC×DF
∴S△ABD:S△ACD=AB:AC
过点A作AG⊥云入收村企慢欢面践政BC，垂足为G
∵2S△ABD=BD×AG，2S△ACD=CD×AG
∴S△ABD:S△AC衣紧集断D=BD:CD
∴AB问界业渐罗供很福:AC=BD:CD
司鲜州早较吗护短 故原命题得证。
该命题有逆定理:
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点成又布商与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
证明慢蒸普吸七略。
角平分线长
由定理司管互袁坏富深亚失活2和斯台沃特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式。
如右图，在△ABC中，AD平分∠BAC
可设AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，则BC=u+v
由定理2我们知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy
由斯台沃特定理，有w²=(x²v+y²u)/(u+v)-uv
用u=xv/y,v=uy/x替换原式中的u和v
即得AD笔系²=xy-uv=AB×AC-BD×D垂啊这C
验证推导
已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB:AC=MB:MC
面积法
由三角形面积公式，得
S△A波大BM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM
面积法图 S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAM=∠CAM
∴sin∠BAM=s执担西防永充玉非in∠CAM
∴S△ABM:S△ACM=AB:AC
根据:等高底共线，面积比=底长比
可得:S△ABM:S△ACM=MB:MC，则AB:AC=MB:MC
相似法
过C作CN∥AB，交AM的延长线于N
∵CN∥AB
相似法图 ∴∠ABC=∠BCN
又 ∠AMB=∠CMN
∴△ABM∽△NCM
∴AB:NC=BM:CM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAN=∠CAN
又 ∠BAN=∠ANC
∴∠CAN=∠ANC
∴AC=CN
∴AB:AC=MB:MC
(过M作MN∥AB交AC于N也可证明)
正弦定理法
作△ABC的外接圆，AM交圆于D
由正弦定理，得
正弦定理法图 AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM,
AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM
∵AM是∠BAC的角平分线
∴∠BAM=∠CAM
又∠AMB+∠AMC=180°
∴sin∠BAM=sin∠CAM
sin∠AMB=sin∠AMC
∴AB:AC=MB:MC
应用例子
三角形内外角平分线性质定理:三角形的内外角平分线内、外分对边与其延长线所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例.