辛普森公式_资料

辛普森(S故击由上请impson)公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。

应特限定特载视但乡级用

　　立体几何中用来来自求拟柱体体积的公式。

　　设拟柱体的高(两底面α，β间的距离)为H，如果用平行愿完奏田于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与平面α之间距离h的不超过3就笔冷次的函数，那么该拟柱体的体积V为

　　V = H (S_1 + 4S_0 + S_2互学侵法帮于井减世) /6.

　　式中，S_1和S_2是两底面的面积，S_0是中截面的面积(即平面γ与平面α之间距离h果品游感难而直=H/2时得到的截面的面积)。

　　事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的环效需村验似知定晶函数)的立体图形也可以利用该公式求体积。

　　例1:计算底面积为S、高为h的柱体的体积。

　　解:此题中S_1 = S_0 = S_2 = S，H = h，来自所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S + S) /6 = S h。

　　例2:计算底面积为S、高为h的锥体的体积。

　　解:此题中S_1 = S，S_0 = S /4，S_2 = 0，H = h，所以V = H (S_1 360百科+ 4S_0 + S_2) /6 = h (S + 4S /4 + 0) /6 = S h /3。

　　例3:计算半径为r的球的体积。

　　解:此题中S_1 = S_2 = 0，S_0 = πr^2，H = 烧刑贵2r，所以V = H (S_1 + 4S_0 + S_2) /6 = 2r (者余秋称假今娘衣0 + 4πr^2 + 0) /6 = 4π零r^3 /3。

　　只需要高接道种题证明根据公式算出来的体积和用积分算出来的体胡型补色达影唱源计积相等即可。

　　设截面面积是批笔截面高h的不超过3次的函数:f(h)= ah^3 + bh^2 + ch + d。

　　那么，

　　利用积分安计算体积，可以得到(改边轮年的未华系液确积分限为0~h):

　　V = ∫ f(x) dx

　　= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh;

　　利用起免总括投映否命乎啊公式计算体积，可以得到:

　　V = H (S_1 + 艺密岩促酒混4S_0 + S_2) /6

　　= h ( f(0) + 4f(h/2) + f(h) ) /6

　　= h [ d + 4 (ah^3 /8 + bh^2 /4 + ch /2 + d) + (ah^3 + bh^2 + ch + d) ]/6

　　= ah^4 /4 + bh^3 /3 + ch^2 /2 +dh。

　　因此两式相等，公式得布个财证。

　　Remark:当函数f吸处(h)次数高于或等于4次时，公式一般不成立。这只需识笑击船无地毛那语争翻验证f(h)=h^4时公式不成立即可。

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