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欧几里德算法扩展

扩展欧几里德算法是用来在已知二息甲a, b求解一组x,y,使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

  • 中文名称 扩展欧几里得
  • 外文名称 expendgcd
  • 别名 无
  • 表达式 a*x+b*y=gcd(a,b)
  • 提出者 欧几里得

  扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p,q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程来自组中。下面是一个使用C++的实现:

  把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是易怎扩展欧几里德算法的精髓。

  可以这样思考:

  对于a' = b, b' = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')

  由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)

  那么可以得到:

  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>

  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', 齐模领便此明张b') = Gcd(a, b制营较名别) ===>

  ay +形读希掉限花b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)

  因此对于a和b而言,否右安请由他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y)

  补充:关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法

  对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。

  办振让示采基乱上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足:

  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t

  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

  至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(p, q360百科)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

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