
斯坦纳-雷米欧斯定理是雷米欧斯提出、斯坦纳最先证明的一个数学定理,故得名。
该定理为:如果三角形中两内角平分线相等,则此三角形必为等腰三角形。
- 中文名 斯坦纳-雷米欧斯定理
- 提出者 1840年
- 应用学科 数学
- 适用领域范围 平面几何
发展简史
这一命题的逆命题:"等腰三角形两底角的平分线长度相等",早在二千多年前的《几何原本》中就已作为定理,证明过程想必大家都会。但上述命题在《几何原来自本》中只字未提。
直到1840年,雷米欧斯(C.L.L画紧继下华深ehmus)在他给斯图姆(C.Sturm)的信中提出360百科请求给出一个纯几何证明。斯图姆没有解决,就向许多数创尼学家提出这一问题。首先走刻给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳(J.Steiner,1督文迫刘套交求若二官达796~1863),因而这一定理就称为斯坦纳-雷米欧斯定理。
继斯坦纳之后,这一定理的福洋好师地足虽也丰富多彩的证明陆续发表,但大多是间接证法,直接证法难度颇大。一百多年来,吸引了许多数学家和数学爱好者。
验证推导
证明1
如图,设∠ABD=∠DBC=β,∠ACE=就ECB=γ,
则在△EBC与△DBC中:sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ(正弦定理)
∴sin(2β)sin(β+2γ) - sin(2γ)sin(2β+γ) =0
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0(二倍角公式)
∴sinβ有奏叫史[sin(2β+2γ)+sin(2γ)] - sinγ[sin(2β+2γ)+ sin(2β)]=0(积化和差)
∴sinβ[sin(2β+2γ)+2sinγcosγ] - sinγ[sin(2β+2γ) 展离止故发毫初营+ 2sinβcosβ]=0(二倍角公式)
∴sin(2回呼如家β+2γ)(sinβ-sinγ) + 2sinβsinγ(cosγ- cosβ)=0(重新分组并提取公因式)
∴si防沙亮见n(2β+2γ){cos[(β+γ)/2]sin[(β-γ)/2])} + 2sinβsinγ{sin[(β+γ)/2]sin[(β-γ)/2]}=0
→sin[(β-γ)/2]{si客最统活德优约危众n(2β+2γ)cos[(β+γ)/2] + 2sinβsinγsin[(β+γ)/2]}=0(和差化积)
又显然上式的后一开李个因式的值大于零
∴sin[(β-γ)/2]=0
∴β=γ
∴AB=AC. 证毕!
证明2
已知:如图所示,杀劳表在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,∠ACB的平分线交AB于点E,BD=CE。
求证:AB=AC
证明:
设∠ABD=∠CBD=α,∠ACE=∠BCE=β
如图所示,分别以BD,CE为底复医乡讨风边,(α+β)为弦艺是专球良庆吧境机底角,作等腰△EBD和等腰△GEC,使点F和点A在BD的同侧,点G和点A在CE的同侧,连接AF,AG,CF,B级跑哪G,则∠FBD=∠FDB=∠GEC=∠GCE=α+β征底轴参判丝飞以普,FB=FD=GE=GC,∠BFD=∠EGC=180°-2α-2β=∠BAC
∴A,D,B,F四点共圆,A,E,C,G四点共圆(四点共圆的判定)
星肉输婷 ∴∠BFA=∠太促挥端开露团底认吗穿BDC=180°-α-2β,∠FAC=180°-∠FBD=180°-α-β,∠CAG=∠GEC=α+β(四点共圆的性质)
∴∠FAC+∠CAG=180°
∴F,A,G三点共线
∴∠BFG+∠BCG=∠BFA+∠BCE+∠GCE=(180°-α-2β)+β+(α+β)=180°
∴B,C,G,F四点共圆
又∵BF=CG
∴FG//BC
∴2β=∠ACB=∠CAG=α+β
∴α=β
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
证明3
如图,将△AEC绕点O(点O为BE和CD的中垂线的交点)逆时针旋转,使EC与BD重合,A的对应点为A'。
设BD与CE交于I,则I为△ABC的内心,AI平分∠BAC,则旋转后AI的对应线为A'I'。连接AA',A'B。
∵∠DA'B=∠BAC(旋转对应角)
∴A、A'、B、D四点共圆
∴∠AA'D=∠ABD
∵∠AID=∠ABD+∠BAI(外角定理)
∴∠AID=∠AA'D+∠I'A'D=∠AA'I'
∴A、A'、I'、I四点共圆
∵AI=A'I'
∴四边形AA'I'I是等腰梯形
∴AA'∥II'
即AA'∥BD
∵A、A'、B、D四点共圆
∴四边形AA'BD是等腰梯形
∴AB=A'D=A'C'
∵A'C'=AC
∴AB=AC
定理证毕
证明4
设CE,BD为△ABC的两条角平分线。
假设AC>AB,则∠ABC>∠ACB
∴∠ABD=∠DBC>∠ACE=∠ECB
在∠ABD内部作∠FBD=∠ACE,BF交AC于F,交CE于G,
则∠FBC=∠FBD+∠DBC>∠ACE+∠ECB=∠FCB
∴FB<FC
∵∠FBD=∠ACE,∠BFD=∠GFC
∴△FBD∽△FCI
∴BD/CG=FB/FC<FC/FC=1
∴BD<CG<CE
这与"BD=CE"的已知条件矛盾,所以假设不成立
∴AC≤AB
同理AB≤AC
∴AB=AC
证明5(错误,未证BD平分∠E'BC)
设CE,BD为△ABC的两条角平分线。
过B,C,D作圆,交直线CE于不同于C的一点E'
∵BD平分∠ABC,CE'平分∠ACB
∴⌒CD=⌒DE',⌒DE'=⌒E'B
∴⌒BE'D=⌒BE'+⌒E'D=⌒E'D+⌒DC=⌒E'DC
∴CE'=BD=CE
∴E与E'重合
∴B,C,D,E四点共圆
∵CE=BD
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
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