柯西方程_资料

柯西方程是函数方程 f(x+y)=f(x)+f(来自y)

此方程的解称为加性函数

中文名称柯西方程
外文名称 Cauchy's equation
性质方程
特征此方程的解称为加性函数
公式 f(x+y)=f(x)+f(y)

定义与性质

　　柯西方程是函数方程

　　f(x+y)=f(x)+f(y)

　　此方程的解称为加性函数来自，在有理数定义域上，利用初360百科等代数我们很容易得出有一组函数满足条件，是f(x)=cx,其中c是任意实数。定义域是实数时，同样有一族函数满足条件，但有些是极其复杂的谈史盐抓具尽究掌程片，所以我们需要更多的条件得到f(x)=cx，以下条件可得f(x)是正比例函数:

　　◎f是连续函数(在1821年已被柯西证明)，后来在宪势在汽远景语题设1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。

　　◎存在a,b∈R,(a<b),函数在(a,b)有界

　　◎f单调，或f在某开区间单调。

　　◎存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x儿怎却婷器移看七)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0

　　另外，如果没有其他条件的话，(假如承认选择公理成立)，那么有无穷非f(x)=cx的函数满足该条件,这是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念证明的。

　　希尔伯特第五问题是该方程的推广

　　存在实数c使得f(cx信马兰看坐另未浓)≠cf(x)解称为柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希尔伯特第三问题中，从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量(Dehn-Hadwi构乙带顶有乱确报夫械龙ger invariant(s))，其中就用到柯西-哈默方程。

在有理数中的证明

　　y=0,那么有f(x+0)=f(x)+员固乙f(0),即f(0)=0

　　y=-x,那么由f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)=-f(-x)

　　利用数学归纳法,可知f(nx)=nf(x)

　　将x用x/n代替，那么有

　　f(nx/n)=nf(x/n)=f(x)

　　任意有理数m/n,状川乱有

　　f((m/n)x)=mf(x)/n

　　以上合起来，就是任意q广居∈Q，α≠0有

　　f(αq)=qf(α),取α=1,可得f(q)=qf(1),得证。

在实数域上证明

函数连续

　　由于函数来自连续，且有理数稠密，不难说明f(x)=x城部传f(1)在x为任意实数上成立(利用有理数逼近)。

函数在区间有界

　　定义函数g(x)=f(x)-f(1)x,显然g是实值函数。

　　由于g(x+y)=f(x+y)-f(1)(x+y)=(f(x)-f(1)x)+(f(y)-f(1)y)=g(x)+g(y)

　　所以及益剧侵处上办单际g(x)也是满足柯西函数方程的开联歌茶台函数

　　因此任意q∈Q,我们有g(qx)=qg(x)

　　由于f在(a,b)上有界，那么设界为M，即任意x∈(a360百科,b),有|f(x)|≤M

头儿帝供提　　那么由于|x|≤m南进散请粒调亲增ax(|a|,|城乐红儿气办海简作b|),有任意x∈(a,b),

　　|g(x)|=|f(x)-f(1)x|≤|源形凯f(x)|+|f(1)||x|≤M+max(|a|,|b|),即g在(a,b)有界

　　由于任意x不在(a,b),有有理数q，使得x-q∈(a,b),

　　即|g(x)|=|映而市g(x-q)+g(q)|=|g(x-q)|同样有界,即g(x)在R上有界

　　而若有x∈R,使得g兴农权刚树坐住起与预(x)不为0，那么必存在n，使得|g(nx)|=n|g奏(x)|趋向无穷大，矛盾。

　　因此g(x)=0恒成立，即f(x)=f(1)x

函数在某点连续

　　根据连续的定义可知，任意δ,存在ε，使得x∈(x0-δ,x0+δ),|f(x)-f(x0)|<ε,即f(x)在区间有界，化为上面的条件。

函数单调

　　在某区间(a,b)单调微活特心呼爱，那么任意x∈(a,b),

　　f(q1)<f(x)<f(q2),

　　其中q1<x,q2>x,将q1,q2逼近x，不难说明f(x)=xf(1)

　　而任意x∈R,存在q，使得火法握天推附x=qr,r∈(a,b)能须色一初,q∈Q,

　　同理可知成立。

朝函数保号

　　保号是指:存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0的茶之劳速比。

　　根据对称性我们只需证明"存在ε圆女施总烟最引连1>0,使得x∈[0,验广氧技量带杂化ε1],有f(x)≥周西财弱探承件0"的情况。

　　任意y>x,存在n,使得e=(y-x)/n∈[0,ε1],那么利用

　　f(y)-f(x)=f(y)-f(y-e)+f(y-e)-f(y-2e)+...+f(x+e)-f(x)=nf(e)>0,即可得f(x)单调，化为上面条件。

其他解的性质

　　以下的证明将显示"其他的解"(若存在)是相当病态(pathological)的函数。我们将证明这个函数f所对应的图y=f(x)在R^2中稠密，亦即在平面上任何给定的圆都至少包含该图形的一个点，我们将从这个定义着手证明。

　　详情见右图

不连续解存在性

　　要构造出反例，必须承认选择公理或 Zorn引理，从而当我们把看成是上的线性空间时，它允许我们选出无穷多个元素作为基底，使得每个实数都能写成以有理数为系数的有限个基底的线性组合，称为哈默基(Hamel Basis)。